Blogiarkisto

tiistai 30. kesäkuuta 2020

z^n=1 ja säännölliset monikulmiot kompleksitasossa

Tässä tulee mielestäni eräs hauskimmista matemaattisista todistuksista, joihin olen törmännyt. Se on yksinkertaisesti elegantti. Väitteen löysin jo varsin kauan sitten eräästä keskustelusta matematiikalle omistetulla foorumilla, enkä uskonut sitä alkuun, koska se tuntui niin käsittämättömältä, että algebran ja geometrian väliltä löytyisi niin syvä yhteys. Tässä todistuksessa on olennaista tietää, että kompleksilukujen joukko on reaalilukujen lukualueen laajennus, ja jos ei jostain syystä tiedä esimerkiksi imaginääriyksikön määritelmää, ei kenties kannata yrittää todistuksen ymmärtämistä. Tässä todistuksessa kirjaimet m, n ja k viittaavat aina luonnollisiin lukuihin. Korostan epäolennaiset asiat tekstissä punaisella, olenaisimmat asiat vihreällä ja lopullisen johtopäätöksen sinisellä. Käytin kuvien tuottamiseen YTL:n matikkaeditoria. Väite kuuluu (itse muotoiltuna):


Väitteen todistaminen

Todetaan joitain yhtälön ja imaginääriyksikön perusominaisuuksia, sillä niiden tuntemisesta on hyötyä väitteen geometrisessa havainnollistuksessa:


Ei ehkä ole täysin itsestäänselvää, kuinka väitteen todistamisessa kannattaisi edetä, joten aloitetaan piirtämällä kuva tilanteesta. Aivan samalla tavalla kuin myös reaalilukuihin pohjautuvassa karteesisessa koordinaatiosta, myös kompleksitasossa yksikköympyrä viittaa ympyrään, jonka säteelle r pätee r = 1. Kun tarkastellaan havainnollisinta tapausta, jossa n=4 (n=3 on teknisesti ottaen erikoistapauksena "yksinkertaisempi" pienemmän astelukunsa takia, mutta silti täysin perseestä, joten uskokaa vaan, että n=4 on parempi havainnollistuksen kannalta), huomaamme, että kun sijoitamme ratkaisuja vastaavat pisteet kompleksitasoon, ne muodostavat yksikköympyrän kehälle säännöllisen nelikulmion, eli neliön! Väite siis pitää paikkansa ainakin yhdessä tapauksessa, jossa n=4. Nyt meidän täytyy yleistää tämän väitteen paikkaansapitävyys kaikille arvoille, joita n saa.

n=4

Voimme määrittää algebrallisesti kaavan, jonka avulla voimme löytää kaikki yhtälön ratkaisuja vastaavat pisteet kompleksitasossa mielivaltaiselle asteluvulle n. Tämä tapahtuu manipuloimalla yhtälöä hyödyntämällä De Moivren kaavaa trigonometristen funktioiden eksponenteille. Kompleksiluvun summamuodon lisäksi, kompleksiluku voidaan ilmaista myös polaarisessa muodossa ja tämä on kriittistä, jotta voimme soveltaa De Moivren kaavaa:

Kompleksiluvun napakoordinaattiesityksessä (synonyymi polaariselle mudolle) kreikkalainen symboli theta θ viittaa kompleksiluvun kiertokulmaan. Voimme muokata yhtälön vielä hieman kauniimpaan muotoon hyödyntämällä funktioteoriasta tuttua Eulerin kaavaa e-kantaisten eksponenttien ja trigonometristen funktioiden väliselle yhteydelle:

Tämän välituloksen avulla voidaan löytää muodostuvan säännöllisen n-kulmion jokaisen kärkipisteen koordinaatit, sillä ne ovat alkuperäisen yhtälön juuria

Nyt päästään viimeiseen vaiheeseen todistusta. Koska yhtälöllä on aina ratkaisuna z=1, on kaikilla muodostuvilla säännöllisillä n-kulmioilla kärki tässä pisteessä. Jos yhtälön ratkaisut sijaitsevat yksikköympyrän kehällä yhtä suuren kiertokulman päässä toisistaan, on kaikkien vierekkäisten pisteiden etäisyys toisistaan oltava vakio. Jos vierekkäisten pisteiden etäisyys ympyrän kehällä on vakio, kun ne yhdistetään toisiinsa, on muodostuttava säännöllinen monikulmio. Tämä ehto toteutuu, ja se on varsin helppo nähdä viimeisimmästä välituloksesta. Väännän tämän kuitenkin vielä rautalangasta, että todistus olisi hieman selvempi. Tarkastellaan e-kantaisen eksponenttimuodon saamia arvoja eri k:n arvoilla:

Kohta ollaan jo maalissa


Huomataan, että kun k=n, niin ollaan palattu takaisin pisteeseen z=1. Olemme myös pistessä z=1, kun k=0.

Tätä voisi ajatella siten, että lähdemme k:n arvolla k=0 kiertämään kompleksitason yksikköympyrän kehää pisteestä z=1 ja kuljemme kehää pitkin aina jokaista yhdellä kasvavaa k:n arvoa kohti 2*pi/n radiaania seuraavaan pisteeseemme. Siten kahden vierekkäisen pisteen välinen kiertokulma ja etäisyys toisistaan on aina vakio (eli 2*pi/n). Toistamme siirtymän n kertaa, jolloin palaamme automaattisesti takaisin pisteeseen z=1 kuten äsken totesimme, jolloin rajautuvan tasogeometrisen kappaleen on oltava säännöllinen n-kulmio. Siispä yhtälön ratkaisut ovat aina säännöllisen n-kulmion kärkipisteissä ja väite seuraa.

Siinä oli väitteen todistus kokonaisuudessaan. On mielestäni ehkä hieman sääli, jopa menetys, kuinka en pääse lääketieteen opinnoissa samalla tavalla enää opiskelemaan matematiikkaa syventävästi. Tämä ei ole kuitenkaan niin iso murhe, kun muistutan itseäni, että materiaaleja löytyy matematiikan harrastajalle internetistä ja kirjastoista pilvin pimein. Itsestäni se on pitkälti kiinni opiskelenko matematiikkaa pidemmälle vai en. Muistan kun aloin perehtyä funktioteoriaan ja differentiaaliyhtälöihin lukiossa ensimmäistä kertaa ja kuinka ne avasivat kokonaan uuden maailman matematiikkaa minulle. Kompleksiluvut ominaisuuksineen ovat ehkä kaikkein siistein asia matematiikassa ikinä, koska ne menevät niin kauas siitä, mitä olemme tottuneet ymmärtämään numeroina. Reaaliluvut voidaan asettaa lukusuoralle suuruusjärjestykseen, mutta imaginääri- ja kompleksiluvuille näin ei voida tehdä. Mieleni räjähti, kun joskus vuosia sitten oli kurssitehtävänä todistaa, että imaginääriyksiköllä ei ole suuruutta.


On jotenkin mysteeri käsitellä algebrallisesti lukua, joka on nimensäkin mukaan imaginäärinen, mutta sen avulla olemme kuitenkin voineet laajentaa matematiikkaa valtavasti. Imaginääriyksikön kanssa ystävystyminen on vienyt minut lähemmäksi matematiikan ja numeroiden olemusta noin filosofisella tasolla. On vaikeaa ajatella, että numerolla ei tarvi olla suuruutta, mutta sellaisiakin numeroita on - äärettömästi. Voimme esimerkiksi löytää ratkaisun vaikkapa yhtälölle sin(x) = 100 huolimatta siitä, että lukiossa opetetaan, että sini- ja kosinifunktioiden arvojoukot ovat [-1,1]. Tämä pohjautuu siihen, että opiskelijoille ei kerrota kompleksilukujen olemassaolosta. Todellisuudessa molemmat funktiot saavat kaikki reaali- ja kompleksilukuarvot.

Cantorin diagonaaliargumentista seuraava matemaattinen totuus. Pääni räjähtää, kun mietin tätä konseptia, koska se on aivan vitun siisti ja kertoo meille valtavan paljon äärettömyyden luonteesta. On siis olemassa erisuuruisia äärettömyyksiä. R on ylinumeroituva ääretön joukko ja Q on numeroituva ääretön joukko.


Olin aikeissa tehdä vastaavanlaisen postauksen kuuluisasta Cantorin diagonaaliargumentissa, koska se oli myös eräs mielenkiintoisimpia todistuksia, joita tiedän. Kävimme kyseisen todistuksen läpi lukiossa vanhan opetussuunnitelman pitkän matematiikan syventävällä 13 kurssilla. Totta puhuen kyseinen todistus ei ole niinkään se mielenkiintoinen asia, vaan siitä johtuva totuus, joka on se, että on olemassa erisuuruisia äärettömyyksiä. Amatöörimatemaatikko kiittää ja kuittaa tältä erää - tämä postaus oli tässä.

Aina välillä tulee ikävä lukion pitkän matematiikan oppitunteja


Ei kommentteja:

Lähetä kommentti